最小二乘法

最小二乘法

最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化技术，用于在含有误差的测量数据中寻找最佳函数匹配。其核心原理是：在等精度测量中，最可信赖值应使各测量值的残余误差平方和最小。

基本原理

最小二乘法在误差理论中的基本含义是：利用等精度多次测定值求最可靠测量结果时，该测量结果等于当各测定值的残余误差二次方和最小时所求得的值。根据贝塞尔公式，残余误差平方和最小意味着测量结果的标准差估计值最小、精度最高。

数学形式

对于线性测量情形 $y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_m{x}_m$，残余误差方程组可表示为矩阵形式：

其中 $/mathbfL$ 为测量值矩阵，$/mathbfA$ 为系数矩阵，$/mathbfX$ 为待求估计值矩阵，$/mathbfV$ 为残余误差矩阵。

最小二乘法要求 $\text{min}(/mathbf{V}^{\text{T}}/mathbfV)$，通过微分学求极值得到矩阵解：

与误差理论的关系

最小二乘法与残余误差和贝塞尔公式紧密相关。最小化残余误差平方和等价于最小化标准差估计值，从而将参数估计与测量精度联系起来。

应用

• 实验曲线拟合
• 经验公式确定
• 传感器特性标定（如铜热电阻的电阻-温度关系）
• 测量数据处理中的参数估计

计算方法

矩阵运算可借助数学工具（如MATLAB）高效执行，MATLAB求解语句为：X = inv(A' * A) * A' * L

延伸问题

对于非等精度测量，最小二乘法的求解方法需要引入加权处理，是该方法的重要扩展方向。