多元线性拟合

多元线性拟合

多元线性拟合是多个线性关系变量测试结果的数学表示，是一元线性拟合在多维空间的推广。

数学模型

设自变量 $y$ 与 $m$ 个因变量 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 之间存在线性关系，测得 $n$ 组数据。多元线性拟合的数学模型可用矩阵表示为：

其中：

• $/mathbfY=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\text{T}}$ 为自变量矩阵
• $/mathbfX$ 为 $n\times (m+1)$ 的因变量矩阵（第一列全为1）
• $/mathbf\beta =({\beta }_0,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m{)}^{\text{T}}$ 为待估计参数向量
• $/mathbf\epsilon =({\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n{)}^{\text{T}}$ 为误差项矩阵

回归方程

多元线性回归方程为：

其中 $b_0,b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 是 ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$ 的最小二乘法估计值。

矩阵解

由最小二乘法可推导得出多元线性拟合矩阵方程的解为：

该公式为计算机求解多元线性回归问题提供了标准方法。