最小二乘法与回归分析（一）

最小二乘法与回归分析（一）

本文档是《误差理论与数据处理基础》第18章第3节的第一部分，系统阐述了最小二乘法的基本原理、数学推导和矩阵求解方法，并通过铜热电阻（Cu100）的电阻-温度特性拟合示例展示了其实际应用。

核心内容

最小二乘法原理

最小二乘法是一种数学优化技术，用于在测量数据中寻找最佳函数匹配。其核心思想是：在等精度测量中，最可信赖值应使各测量值的残余误差平方和最小。根据贝塞尔公式，残余误差平方和最小意味着测量结果的标准差估计值最小、精度最高。

数学推导

对于线性测量情形 $y=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_m{x}_m$，残余误差方程组可表示为矩阵形式：

通过微分学原理求极值，得到最小二乘法的矩阵解：

优化方法论

文档将最小二乘法置于更广泛的优化方法论背景下讨论，强调其作为寻求"最佳解"的典型方法，与系统工程理论和优化方法相关联。

应用示例：铜热电阻特性拟合

以分度号为Cu100的铜热电阻为例，其电阻值与温度的关系为 $R_t=R_0(1+\alpha t)$。通过7组测量数据，利用最小二乘法估计出 $R_0=100\Omega$ 和 $\alpha =4.28\times {10}^{-3}{/}^{\circ }\text{C}$，并预测了150°C时的电阻值为164.2Ω。

关键概念

• 最小二乘法 — 核心方法
• 残余误差 — 最小化目标
• 贝塞尔公式 — 与最小二乘法的关系
• 优化（测量领域） — 方法论背景
• 铜热电阻 — 应用示例对象

待解决问题

文档提出了"对于非等精度测量，如何用最小二乘法求解？"的问题，但未给出解答，留待后续补充。