算术平均值的标准差

算术平均值的标准差

算术平均值的标准差（standard deviation of the arithmetic mean）是衡量多次测量中算术平均值精度的统计量。

定义

在相同条件下进行m组"多次测量"，每组作n次测量，各组算术平均值围绕真值波动，其波动范围由算术平均值的标准差 ${\sigma }_{\overline{x}}$ 表示。

计算公式

其中：

• ${\sigma }_{\overline{x}}$ — 算术平均值的标准差
• ${\sigma }_s$ — 单次测量的标准差估计值（由贝塞尔公式计算）
• $n$ — 每组测量次数

与测量次数的关系

算术平均值的标准差与测量次数的平方根成反比。增加测量次数可提高精度，但效果递减：

• 当n增大时，${\sigma }_{\overline{x}}$ 减小，算术平均值越接近真值
• 当n > 10时，${\sigma }_{\overline{x}}$ 下降很慢
• 建议取n = 5~10

工程意义

该公式揭示了提高测量精度的有效途径：不能单靠无限增加测量次数，而需要综合考虑测量方法、仪器精度和适当的测量次数。

与现有Wiki的关联

• 算术平均值 — 该统计量的估计对象
• 标准差 — 基础统计量
• 贝塞尔公式 — 计算 ${\sigma }_s$ 的方法
• 测量误差 — 误差理论的核心组成部分