单臂工作电桥在试件有应变时的输出电压推导

单臂工作电桥在试件有应变时的输出电压推导

单臂工作电桥是电阻应变式传感器中最常用的电路形式之一。其基本原理是将一个电阻应变片（工作片）接入电桥的一个臂，其余三个臂为固定电阻（或精密电阻）。初始时，电桥平衡，输出电压为零。当试件受力产生应变时，应变片电阻发生微小变化ΔR（通常ΔR << R），电桥失去平衡，输出一个与ΔR成正比的电压。

定义：单臂电桥由四个电阻R1、R2、R3、R4组成，其中R1为应变片，初始阻值为R。设R1 = R + ΔR，R2 = R3 = R4 = R（等臂电桥）。输入电压为U_i（直流或交流），输出电压U_o取自两臂中间点之间的电位差。

推导过程：根据电桥分压原理，输出电压
U_o = U_i (R3/(R3+R4) - R2/(R1+R2))
代入R1=R+ΔR，R2=R3=R4=R，得
U_o = U_i (R/(2R) - R/(R+ΔR+R)) = U_i (1/2 - R/(2R+ΔR))
通分整理：
U_o = U_i [ (2R+ΔR - 2R) / (2(2R+ΔR)) ] = U_i (ΔR) / (4R+2ΔR)
由于ΔR << R，忽略分母中的2ΔR项，得到近似公式：
U_o ≈ (U_i/4) (ΔR/R) = (U_i/4) K * ε
其中K为应变片灵敏系数，ε为轴向应变。

工程理解：该推导表明单臂电桥输出与应变片电阻相对变化率ΔR/R呈线性关系，但实际输出包含非线性项。在微小应变条件下（如金属应变片，ε < 0.001），非线性误差可忽略。该电路广泛应用于应力、力、位移等非电量的电测中，是传感器信号调理的基础。