压差引起的膜片变形与应力

压差引起的膜片变形与应力

定义：压差引起的膜片变形是指当膜片两侧存在压力差 $\Delta P$ 时，膜片产生弯曲，其挠度（垂直位移）与压差相关；应力是指膜片内部因变形产生的机械应力，包括径向应力 ${\sigma }_r$ 和切向应力 ${\sigma }_t$。

作用：这是电阻式差压传感器工作的核心物理过程。膜片上粘贴的应变片（如金属箔式应变片）会跟随膜片变形，其电阻值变化与膜片表面应变（即应力引起的应变）成正比，从而将压差转换为可测量的电信号。

工程理解：将膜片视为周边固定的圆形薄板（半径 $R$，厚度 $h$）。在压差 $\Delta P$ 作用下，膜片中心挠度 $w_0$ 为：
$w_0=\frac{3(1-{\mu }^2)\Delta P{R}^4}{16E{h}^3}$
其中 $E$ 为弹性模量，$\mu$ 为泊松比。可见挠度与压差成正比，且与膜片半径的四次方、厚度的三次方强相关。

应力分布（距中心 $r$ 处）：

• 径向应力：${\sigma }_r=\frac{3\Delta P{R}^2}{8h^2}(1-\frac{r^2}{R^2})$，在边缘（$r=R$）处为 0，中心（$r=0$）处最大。
• 切向应力：${\sigma }_t=\frac{3\Delta P{R}^2}{8h^2}(1-\frac{1+3\mu }{3+\mu }·\frac{r^2}{R^2})$，在中心处最大，边缘处为 $\frac{3\Delta P{R}^2}{8h^2}·\frac{2\mu }{3+\mu }$。

实际设计中，为提高灵敏度，应变片通常粘贴在应力最大位置（中心或边缘）。通过测量应变片的电阻变化，即可推算出压差。注意：以上公式适用于小挠度（挠度远小于厚度）和线性弹性范围。